Частотная свойства преобразования фурье линейной непрерывной стационарной системы ЛНС Ранее лекция 3 было показано, что выходной сигнал ЛНС во временной области представляет собой свертку входного сигнала импульсной характеристики системы Получим преобразование Фурье свертки Следовательно, выходной сигнал в частотной областигде - преобразование Фурье спектр входного сигнала, - частотная характеристика или комплексный коэффициент передачи системы ЧХ, англ. Выходной сигнал во временной области может быть найден через обратное преобразование Фурье от Y jω. Свойства преобразования фурье частотной характеристики - называется амплитудно- частотной характеристикой АЧХ - amplitude response системы, аргумент - фазочастотная характеристика ФЧХ — свойства преобразования фурье response. Частотная характеристика системы является преобразованием Фурье её импульсной характеристики, т. Она может рассматриваться также как реакция отклик системы на входное воздействие в виде комплексной гармоники e jωt. Посколькуто на практике экспериментально АЧХ реальной системы определяется подачей на её вход действительной гармоники измерением отношения амплитуды выходной гармоники к амплитуде входной гармоники. ФЧХ — это разность фаз выходной и входной гармоник определенной частоты. Обе характеристики — функции частоты f или ω. Соответствующие приборы называются измерителями частотных свойства преобразования фурье. Выражение является основным выражением анализа ЛНС в частотной области. Оно означает, что комплексный спектр преобразование Фурье выходного сигнала равен произведению спектра входного сигнала на частотную характеристику системы. Поскольку это просто умножение, то анализ в частотной области значительно проще и удобнее, чем вычисление интеграла свертки во временной области. Во многих приложениях частотный метод является основным методом анализа линейных систем. Далее в курсе частотная характеристика будет рассматриваться более подробно. Свойства преобразования Фурье В практических задачах обработки сигналов широко используются свойства, свойства преобразования фурье обладает преобразование Фурье НВПФ. Свойство линейности linearity или Доказательство: 2. Свойство симметрии symmetry преобразования Свойства преобразования фурье. Произвольную действительную некомплексную функцию x t можно представить суммой четной even и нечетной odd составляющих, т. С учетом этого представления спектральная плотность сигнала. Здесь - вещественная часть X fкосинус-преобразование Фурье, четная функция частоты f, - мнимая часть X fсинус-преобразование Фурье, нечетная функция частоты f. Отсюда амплитудный спектр - четная функция частоты, фазовый спектр - нечетная функция частоты. Поэтому достаточно рассматривать и вычислять спектры для положительных частот. Свойство дуальности duality Математически прямое и обратное преобразования Фурье различаются только знаком показателей экспонент. Итак, если функции x t в частотной области соответствует X свойства преобразования фурьет. Это означает, что если мы знаем одно выражение из известной пары преобразований Фурье, то по нему мы можем определить другое. Отсюда по свойству дуальности комплексный сигнал должен иметь спектр видат. Свойство временного сдвига shift in t При сдвиге сигнала во времени на t 0 модуль преобразования Фурье амплитудный спектр не изменяется, добавляется только фазовый сдвиг -2π ft 0т. Доказательство: по определению преобразования Фурье. Таким образом, при сдвиге сигнала во времени его амплитудный спектр не изменяется, только линейно сдвигается фазовый спектр фаза на величину — j2π ft 0. Свойство модуляции или частотного сдвига shift in свойства преобразования фурье Сдвиг аргумента спектральной плотности X f по частоте на f 0 свойства преобразования фурье умножению во временной области на множитель. Умножение комплексной экспоненты с частотой f 0 на функцию x t математически означает амплитудную модуляцию АМ комплексной экспоненты комплексной несущей низкочастотным сигналом x t. Разновидности АМ с гармонической несущей - сигнал с косинусоидальной несущей, - сигнал с синусоидальной несущей. В АМ радиовещании длинные и средние волны амплитудно — модулированный сигнал имеет видгде константа m — это индекс модуляции. В соответствии со свойством модуляциит. Представив по формуле Эйлераполучимт. Более подробно модуляция сигналов будет рассматриваться в лекции 17 курса. Свойство дифференцирования по времени differentiate in t. Доказательство: еслито Обобщая свойства преобразования фурье результат, получаем. Соответствие между обыкновенным линейным дифференциальным уравнением N — го порядка во временной области и его видом в частотной области Каждому слагаемому вида соответствует в частотной области. Дифференциальное уравнение во временной области соответствует алгебраическому относительно частоты свойства преобразования фурье в частотной области. Свойство временного масштабирования свойства преобразования фурье scaling. Как видно из графиков, более узкий импульс имеет более широкий спектр. Это следует из свойства временного масштабирования. Свойство моментов нулевого порядка zeroth - order moments Из определения преобразования Фурье следует и. X 0 и x 0 называют моментами нулевого порядка сигнала в частотной и временной области. При этом - постоянная составляющая сигнала x tт. Отсюда Свойство свертки convolution Пусть - свертка convolution функций x 1 t и x 2 t. Тогда преобразование Фурье свойства преобразования фурье Таким образомсвертке двух функций во временной области соответствует произведение их преобразований Фурье в частотной области. Это свойство является важнейшим в частотном анализе линейных динамических систем, см. Это соотношение называется принципом неопределенности в теории сигналов. Согласно этому принципу, чем меньше длительность сигналатем шире его полоса частот. Это, в частности означает, что прямоугольный импульс длительностью 1 с имеет полосу частот порядка 1 Гц, длительностью 1 мс - свойства преобразования фурье кГц, длительностью 1 мкс - 1 МГц и т. Соотношение неопределенности часто используется на практике для приближенной оценки полосы частот сигнала. Например, для телефонной связи полоса частот речевого сигнала 300-4000 Гц, для ЭКГ — сигналов 0-100 Гц уже! Одно из следствий обсуждаемого результата. В каналах передачи двоичных цифровых данных, т. Следовательно, тем более широкая полоса частот необходима для передачи информации. Отсюда терминология: широкополосный канал, широкополосный Internet и т. Здесь P C — мощность сигнала, P ш— мощность шума в канале, - отношение сигнал-шум отношение мощности сигнала к мощности шума. В теории сигналов применяется понятие база сигнала - это произведение эффективного значения длительности сигнала и эффективного значения ширины его спектра. Длительность сигнала и ширина его спектра подчиняются неравенству неопределенности, гласящему, что база сигнала не может быть меньше единицы. Но ограничений на максимальное значение базы сигнала не существует. То свойства преобразования фурье короткий сигнал с узким свойства преобразования фурье существовать не может, а сигнал большой длительности теоретически - бесконечной с широким спектром — может так называемый широкополосный сигнал, сигнал с большой базой. В настоящее время такие сигналы широко применяются в технике связи. Их называют также шумоподобными сигналами. Преобразование Фурье периодического сигнала Преобразование Фурье для периодического сигнала не существует, поскольку энергия его бесконечна. Но с помощью дельта - функции можно выразить преобразование Фурье и для периодического сигнала. Хотя такой подход - искусственный с позиций математического анализа. Но в обработке сигналов он используется и распространен. Тогда обратное преобразование Фурье дает нам по свойству фильтрации дельта — функции. Следовательно, преобразование Фурье комплексной гармоники имеет вид - свойство модуляции. Поскольку преобразование Фурье являются линейным преобразованием свойства преобразования фурье линейностито можно записать более общее выражение. Здесь x t - ряд ФурьеX k — коэффициент ряда Свойства преобразования фурье периодического сигнала. Таким образом, преобразование Фурье спектр периодического сигнала может быть представлено через дельта — функции как взвешенная сумма периодической последовательности дельта — функций дельта - импульсов с частотами. Весами свойства преобразования фурье коэффициенты ряда Фурье периодического сигнала. Как следствие, свойства преобразования фурье Фурье спектр косинусоидального сигнала гармоники имеет видт. Заключение § Выходной сигнал линейной системы в частотной областигде - преобразование Фурье спектр входного сигнала, - частотная свойства преобразования фурье системы. Во временной области свойства преобразования фурье выхода и входа имеет вид интеграла свертки Преобразование Фурье НВПФ имеет ряд важных характерных свойств: - симметрии, - линейности, - временного сдвига, - частотного сдвига, - дифференцирования, - временного масштабирования, - свертки. Свойства преобразования фурье свойства широко используются в практических задачах. § Соотношение неравенство неопределенности теории сигналов устанавливает, что чем меньше длительность сигналатем шире его полоса частот ширина спектра и наоборот. Это свойства преобразования фурье часто применяется на практике.

Смотрите также: